Analísis Matemático II: Integración por descomposición de fracciones simples

Integración por descomposición en fracciones simples.

Consideremos integrales de la forma $\int$ ${\frac{P(x)}{Q(x)}}$ dx, donde P(x) y Q(x) son polinomios en x. Si el grado de P(x) es mayor que el de Q(x), efectuamos la división de polinomios. Si C(x) es el cociente, y R(x) el resto, será:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$ dx = $\displaystyle \int$ C(x) dx + $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{R(x)}{Q(x)}}$ dx

Sea pues el grado de P(x) menor que el de Q(x).

Efectuamos la descomposición de Q(x) en la forma:

Q(x) = (x - a₁).(x - a₂)...(x - a_n)

Caso 1.- Si las raíces del polinomio, a_i, son reales y distintas, identificamos el integrando con la siguiente suma de fracciones simples:

${\frac{P(x)}{Q(x)}}$ = ${\frac{A_{1}}{x-a_{1}}}$ + ${\frac{A_{2}}{x-a_{2}}}$ + .. + ${\frac{A_{n}}{x-a_{n}}}$

Determinamos el valor de los A_i efectuando la suma de fracciones:

${\frac{P(x)}{Q(x)}}$ = ${\frac{A_{1}(x-a_{2})..(x-a_{n})+A_{2}(x-a_{1}%% )..(x-a_{n})+..A_{n}(x-a_{1})..(x-a_{n-1})}{Q(x)}}$

e identificando los coeficientes de los polinomios de los dos numeradores. La integral quedará:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$ dx = A₁ln(x - a₁) + A₂ln(x - a₂) + .. + A_nln(x - a_n)

Ejemplo: $\int$ ${\frac{x^{4}-4x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ dx. Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, efectuamos la división, obteniendo:

$\displaystyle \begin{array}[c]{r}%% \text{x}^{4}\text{-4x}^{2}\text{+x+1}\\ \text{x}^{2}\text{+x-3}%% \end{array}$ $\displaystyle \begin{array}[c]{l}%% \begin{tabular}[c]{\vert l}%% x$^{3}$+x$^{2}$-4x-4\\ \hline \end{tabular}\\ \text{ x-1}%% \end{array}$

Es decir: ${\frac{x^{4}-4x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ = x - 1 + ${\frac{x^{2}+x-3}{x^{3}%% +x^{2}-4x-4}}$ . Por tanto:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{x^{4}-4x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ dx = $\displaystyle {\frac{x^{2}}{2}}$ - x + $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{x^{2}+x-3}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ dx

y en la segunda integral, el numerador es de grado menor que el denominador.

Descomponiendo: x³ + x² - 4x - 4 = $\left(\vphantom{ x-2}\right.$ x - 2 $\left.\vphantom{ x-2}\right)$ $\left(\vphantom{ x+2}\right.$ x + 2 $\left.\vphantom{ x+2}\right)$ $\left(\vphantom{ x+1}\right.$ x + 1 $\left.\vphantom{ x+1}\right)$ , y,

${\frac{x^{2}+x-3}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ = ${\frac{A_{1}}{x-2}}$ + ${\frac{A_{2}}{x+2}}$ + ${\frac{A_{3}}{x+1}}$ = ${\frac{A_{1}\left( x+2\right) \left( x+1\right) +A_{2}\left( x-2\right) \left(... ...t) \left( x+2\right) }{\left( x-2\right) \left( x+2\right) \left( x+1\right) }}$

Identificando los numeradores será:

x² + x - 3 = A₁ $\displaystyle \left(\vphantom{ x+2}\right.$ x + 2 $\displaystyle \left.\vphantom{ x+2}\right)$ $\displaystyle \left(\vphantom{ x+1}\right.$ x + 1 $\displaystyle \left.\vphantom{ x+1}\right)$ + A₂ $\displaystyle \left(\vphantom{ x-2}\right.$ x - 2 $\displaystyle \left.\vphantom{ x-2}\right)$ $\displaystyle \left(\vphantom{ x+1}\right.$ x + 1 $\displaystyle \left.\vphantom{ x+1}\right)$ + A₃ $\displaystyle \left(\vphantom{ x-2}\right.$ x - 2 $\displaystyle \left.\vphantom{ x-2}\right)$ $\displaystyle \left(\vphantom{ x+2}\right.$ x + 2 $\displaystyle \left.\vphantom{ x+2}\right)$

Para x = 2, será: 3 = 12A₁, para x = - 2, -1 = 4A₂, y para x = - 1, -3 = - 3A₃.

Del sistema $\left.\vphantom{ \begin{array}[c]{r}%% 3=12A_{1}\\ -1=4A_{2}\\ -3=-3A_{3}%% \end{array}}\right.$ $\begin{array}[c]{r}%% 3=12A_{1}\\ -1=4A_{2}\\ -3=-3A_{3}%% \end{array}$ $\left.\vphantom{ \begin{array}[c]{r}%% 3=12A_{1}\\ -1=4A_{2}\\ -3=-3A_{3}%% \end{array}}\right\}$ , $\Rightarrow$ A₁ = ${\frac{1}{4}}$ , A₂ = - ${\frac{1}{4}}$ , A₃ = 1.

${\frac{x^{2}+x-3}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ = ${\frac{\frac{1}{4}}{x-2}}$ + ${\frac{-\frac{1}%% {4}}{x+2}}$ + ${\frac{1}{x+1}}$ , y la integral será:

$\int$ ${\frac{x^{2}+x-3}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ dx = $\int$ ${\frac{\frac{1}{4}}{x-2}}$ dx + $\int$ ${\frac{-\frac{1}{4}}{x+2}}$ dx + $\int$ ${\frac{1}{x+1}}$ dx =

= ${\frac{1}{4}}$ ln(x - 2) - ${\frac{1}{4}}$ ln(x + 2) + ln(x + 1) + C = ln $\left[\vphantom{ (x+1)\sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}}\right.$ (x + 1) $\sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}$ $\left.\vphantom{ (x+1)\sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}}\right]$ + C.

La integral pedida es:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{x^{4}-4x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ dx = $\displaystyle {\frac{x^{2}}{2}}$ - x + ln $\displaystyle \left[\vphantom{ (x+1)\sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}}\right.$ (x + 1) $\displaystyle \sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ (x+1)\sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}}\right]$ + C

Caso 2.- Si el denominador tiene también raíces reales múltiples del tipo (x - b)^k, por cada una de ellas añadimos a la suma de fracciones simples del caso anterior las siguientes:

$\displaystyle {\frac{B_{1}}{(x-b)}}$ + $\displaystyle {\frac{B_{2}}{(x-b)^{2}}}$ + .. + $\displaystyle {\frac{B_{K}}{(x-b)^{k}}}$

obteniendo la integral como suma de logaritmos neperianos y potencias de exponente negativo.

Ejemplo: $\int$ ${\frac{x^{2}+x+3}{x^{3}+3x^{2}-4}}$ dx.

Descomponemos el denominador, y: x³ + 3x² - 4 = (x - 1)(x + 2)².

Las fracciones simples serán:

${\frac{x^{2}+x+3}{x^{3}+3x^{2}-4}}$ = ${\frac{A}{x-1}}$ + ${\frac{B_{1}}{(x+2)}}$ + ${\frac{B_{2}}{(x+2)^{2}}}$ = ${\frac{A(x+2)^{2}+B_{1}(x-1)(x+2)+B_{2}(x-1)}{(x-1)(x+2)^{2}}}$ .

Identificando los numeradores:

x² + x + 3 = A(x + 2)² + B₁(x - 1)(x + 2) + B₂(x - 1).

Para x = 1, 5 = 9A, para x = - 2, 5 = - 3B₂, y por ejemplo para x = 0,

3 = 4A - 2B₁ - B₂. El sistema será: $\left.\vphantom{ \begin{array}[c]{l}%% 5=9A\\ 5=-3B_{2}\\ 3=4A-2B_{1}-B_{2}%% \end{array}}\right.$ $\begin{array}[c]{l}%% 5=9A\\ 5=-3B_{2}\\ 3=4A-2B_{1}-B_{2}%% \end{array}$ $\left.\vphantom{ \begin{array}[c]{l}%% 5=9A\\ 5=-3B_{2}\\ 3=4A-2B_{1}-B_{2}%% \end{array}}\right\}$ , de donde : A = ${\frac{5}{9}}$ , B₁ = ${\frac{4}{9}}$ , y B₂ = - ${\frac{5}{3}}$ .

$\int$ ${\frac{x^{2}+x+3}{x^{3}+3x^{2}-4}}$ dx = $\int$ ${\frac{\frac{5}{9}}{x-1}}$ dx + $\int$ ${\frac{\frac{4}{9}}{(x+2)}}$ dx + $\int$ ${\frac{-\frac{5}{3}}{(x+2)^{2}}}$ dx =

${\frac{5}{9}}$ ln(x - 1) + ${\frac{4}{9}}$ ln(x + 2) - ${\frac{5}{3}}$ ${\frac{(x+2)^{-2+1}}{-2+1}}$ + C =

= ln $\left[\vphantom{ \sqrt[9]{(x-1)^{5}(x+2)^{4}}}\right.$ $\sqrt[9]{(x-1)^{5}(x+2)^{4}}$ $\left.\vphantom{ \sqrt[9]{(x-1)^{5}(x+2)^{4}}}\right]$ + ${\frac{5}{3(x+2)}}$ + C.

Caso 3.- Si en el denominador aparece un factor cuadrático irreducible (ax² + bx + c) añadimos a la suma de fracciones de los casos anterior una fracción del tipo ${\frac{Mx+N}{ax^{2}+bx+c}}$ . Una vez identificados los coeficientes M y N, a dicha fracción corresponderán integrales del tipo logarítmico y arco tangente.

Ejemplo: $\int$ ${\frac{x^{2}-x+4}{x^{3}+2x^{2}+2x+1}}$ dx.

La descomposición del denominador es: x³ + 2x² + 2x + 1 = $\left(\vphantom{ x^{2}+x+1}\right.$ x² + x + 1 $\left.\vphantom{ x^{2}+x+1}\right)$ $\left(\vphantom{ x+1}\right.$ x + 1 $\left.\vphantom{ x+1}\right)$

(Al factor cuadrático x² + x + 1 le corresponden las raíces complejas : - ${\frac{1}{2}}$ + ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ i y - ${\frac{1}{2}}$ - ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ i)

Identificamos ${\frac{x^{2}-x+4}{x^{3}+2x^{2}+2x+1}}$ = ${\frac{A}{x+1}}$ + ${\frac{Mx+N}{x^{2}+x+1}}$ , obteniendo A = 6, M = - 5, y N = - 2.

$\int$ ${\frac{x^{2}-x+4}{x^{3}+2x^{2}+2x+1}}$ dx = 6 ln $\left(\vphantom{ x+1}\right.$ x + 1 $\left.\vphantom{ x+1}\right)$ - ${\frac{5}{2}}$ ln $\left(\vphantom{ x^{2}+x+1}\right.$ x² + x + 1 $\left.\vphantom{ x^{2}+x+1}\right)$ + ${\frac{1}{3}}$ $\sqrt{3}$ arctan ${\frac{1}{3}}$ $\left(\vphantom{ 1+2x}\right.$ 1 + 2x $\left.\vphantom{ 1+2x}\right)$ $\sqrt{3}$ + C.

sábado, 7 de junio de 2014

Integración por descomposición de fracciones simples

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