INTEGRACIÖN POR PARTE

INTEGRACIÓN POR PARTE :

    Este método se utiliza para calcular integrales de forma ∫ F (x) . G (x).dx,en donde ,f(x) y g(x) son dos funciones diferentes naturaleza.

    El objetivo fundamental de este método es el de eliminar, por derivación una de las dos funciones que conforma la integral original.

    PROCEDIMIENTO GENERAL:

1- Se convierte la integral dada en otra equivalente de la forma   ∫ u . dv . mediante las siguientes sustituciones.

                       

           ∫ u . dv   u = f (x)  y  dv = g (x). dx

2. Se determina la "du" por diferenciación de la función f (x) y "v" por la integración de la función g (x), es decir:

            du = d [f(x)]  y    v =   ∫  g(x).dx

3. Se aplica la formula fundamental de la integración por parte 

            ∫ u  . dv = u . v  -   ∫ v . du + c  , y se sustituye en ella los valores " u " , " v "  y " du ".

4. Se aplica el proceso de integra ción.

Nota: Cuando la integral que resulte de la aplicación de la fórmula fundamental de la integración por parte conserva la forma original se repiten los tres primeros pasos del procedimiento general.

EJEMPLO: Calcular.

        I =  ∫  x . cos x . dx                                        u = x                             V=  ∫ cos x. dx 

                                                                            du =(x) `.dx                   V= sen x 

                                                  du = dv

(cos x)` = sen x

(x)`= 1 eliminada x por lo que u es x por que se elimina al derivar (x) = 1 

  . I = ∫ u. dv

    I = u. v - ∫ v. du

    I = x. sen x  + cos x + c

EJEMPLO

2. I = ∫ Ln  IxI x. dx 

Ambas productos se derivan ( Ln I x I . x .dx = 1 / x .

       u = Ln  I x I                 dv = x.dx

      du = 1 / x.dx               v =  ∫ x.dx
                                         v =  1/2 X<sup>2 

  I =</sup>  ∫ u . dv  = u . v  -  ∫ v . du X² 

 I = Ln  I x I . 1/2.X^{2  _}    ∫ 1/2 X^{2 _}  1 / x .dx 

 I =  1/2 X^2. Ln  I x I  -  1/2  ∫ x . dx

 I =  1/2 X^2. Ln  I x I  -  1/2 ( X² / 2 )+ c

  I =  1/2 X^2. Ln  I x I  -  1/2 ( X² / 4 )+ c

EJERCICIOS PROPUESTO 

1 ∫ x .sen x .dx

Integración por cambio de variable (o sustitución)

 

Muy buenas tardes apreciados estudiante la siguiente publicación es para recuperar la clase del día jueves 1ero de mayo

 

Integración por cambio de variable (o sustitución)

 

Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.

 

Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

 

 

 

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x ® u(x) ® u(x)^m , la regla de la cadena

 

Por tanto,

                               

 

Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.

 

 

Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Resolución:

 

 

 

 

 

Resolución:

 

 

· Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se 

por la constante (en este caso 2) que falta.

 

                    

 

 

Resolución:

 

 

       

 

 

 

Resolución:

 

 

 

 

· Se multiplica y se divide por 3:

 

       

                         

 

 

 

Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de

 

                                          

 

Ejercicio:

 

Resolución:

 

 

· Se multiplica y se divide por 6:

 

 

 

 

Resolución:

 

 

Por tanto,

 

       

 

 

 

       

 

       

 

La derivada de e^x es la propia función e^x . Si en lugar de x se tuviese una función

u( x ), la derivada de e^{u( x )} por la regla de la cadena es e^{u( x )} · u' ( x ).

 

Por consiguiente,

                                            

 

_{A continuación se les dejara algunos link para mayor información :}

 

 _{http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integrales_sustitucion.HTML}

 

_{http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integrales_sustitucion.htm}