Integración por cambio de variable

Integración por cambio de variable

Resolución de Integrales por Cambio de Variable

Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original. A esto se le denomina cambio de variable (CDV).

Luego de hacer efectivo el CDV, por lo general, se obtienen integrales más sencillas que la original, las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el método anterior. Por esta razón, es necesario que el lector haya estudiado detalladamente dicho método puesto que en la solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación específica de este contenido que ya debe ser parte de sus redes conceptuales.

Es importante señalar que el resultado de la integración, debe estar en función de las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el término “devolviendo el cambio de variable” para reseñar el proceso mediante el cual la variable auxiliar desaparece de la respuesta definitiva.

Integración: Por cambio de variable .Este método,como todo en integral se utiliza para convertir integrales no inmediata de la forma ∫ f(x) . g(x) . dx ó ∫ g(x) / f(x).dx e inmediatas mediante la sustitución adecuada .

Mediante el procedimiento general nos ayudaría a resolver integrales de este tipo :

1_ . Se sustituye por " t " una de las dos funciones que conforma la integral original , de tal manera que su derivada sea igual a la otra función t = f(x) , dx = g(x) . dx

2_. Se calcula la nueva integral (se integra )

3_. El resultado final queda expresado en función de la variable original,se sustituye la variable " t " por el valor asignado en el primer paso.

A continuación se presenta un ejemplo, cuya función es aplicar este método de integración.

Resolver la siguiente integral

Ejemplo . Encuentre ∫(3x − 5)4dx

Solución. En este caso sencillo podemos observar que esta integral "se parece" a ∫u du 4 ,

lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = 3x-5

u = 3x-5 ⇒ du = 3 dx ⇒ dx = (1/3)du

Sustituyendo en la integral,

∫ (3x − 5)4 dx = ∫u4. du /3 = 1/3 ∫u4.du =1/3 .u 5/5+ c = u5/15 + c = (3x − 5)5+ c

INTEGRALES INDEFINIDAS

Integrales indefinidas

Definiciones de Integral indefinida
1. En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).Propiedades de la integral indefinida

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

2. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

3. Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee : integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual: a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x) + h(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función: es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Muy buenas noches estimados estudiante la siguiente publicación es para reforzar mas el objetivo dado en celase mediante ejercicios resueltos

Integral de una constante

La integral de una constante es igual a la constante por x.



Integral de cero



Integral de una potencia

 

A continuación se presentaran una series de ejercicios resueltos haciendo uso de la tabla de integración

       Ejercicios

1)       

2)      

3)     

4)     
 

5) 

6) 

7)    

8)    


9 ) 
    

10) 


11)   


12)  
     


 13


14) 

    

    

15)      


16)    

      


17    

     


18) 
    
       

 19) 
   
    

  20)   

Nota: los siguientes ejercicios dados son para complementar y tener en claro el uso de la tabla de integración , ademas le dejare algunos link para obtener más información.

http://matematica.wikia.com/wiki/Tabla_de_integrales

http://www.youtube.com/watch?v=4gepKg7uiiQ

http://www.matematicasfisicaquimica.com/matematicas-bachillerato/40-matematicas-bachillerato1/161-tabla-integrales-inmediatas-matematicas.html