BUENAS NOCHES ESTIMADOS ESTUDIANTES LA SIGUIENTE PUBLICACIÓN ES PARA REFORZAR LA CLASE DADA EL DÍA JUEVES 27/03/2014
DIFERENCIALES:
1. La diferencial de una variable cualquiera “ X “ que se denota “ dx “ es equivalente al incremento que ella permite es decir dx = ∆x .
2. La diferencial de una función f(x) que se denota por d[ f(x) ], es igual al producto de su derivada por la diferencial de una variable independiente d[ f(x) ] = f(x).dx
Ejemplos: Hallar la diferencial de c/u de las siguientes funciones.
a) d(x3 + 5x ) = ( x3 + 5x )’.dx
= ( 3x2 + 5 ).dx
b) d (ey - sen y ) = ( ey – sen y )’ dy
= ( ey – cos y ).dy
c) d (x2 + 4)1/2 = [ (x2 + 4)1/2 ]'.dx → ( un )' = n.un-1. u'
= ½ (x2 + 4 )1/2 – 1 . (x2 + 4 )'
=½ (x2 + 4 )-1/2.2x
= x(x2 + 4 )-1/2.dx
Integral Indefinida: Operación inversa del cálculo diferencial, aquí nos dan una expresión diferencial para obtener una función primitiva
El cálculo integral es la operación o proceso inverso, del cálculo diferencial que consiste en obtener una función primitiva conociendo su respectiva expresión diferencial. La función primitiva recibe el nombre de integral de su correspondiente función exponencial.
Ejemplos:
a) d ( x )5 5x4..dx → x5 es la integral de 5x4.dx
Func.Primitiva Exp. Diferencial
b) d( sen x ) = Cos.x.d x → Sen.x es la integral de Cos.x.dx
c) d( ex ) = ex.dx → ex es la integral de ex.dx
La expresión o proceso que permite obtener una función primitiva f(x) a partir de su correspondiente expresión diferencial f’(x) dx recibe el nombre de ‘’Integración’’, la cual se representa por el símbolo ‘’ʃ’’ que se lee ‘’Integral de’’ y se escribe delante de la expresión diferencial por tanto los tres ejemplos anteriores podemos escribirlos de la siguiente manera:
a) d ( x )5 = 5x4..dx → ʃ 5x4.dx = x5
b) d( sen x ) = Cos.x.d x → ʃ Cos.xdx = Sen.x
c) d( ex ) = ex.dx → ʃ ex.dx = eX
d)
e) d( x3 + c ) = 3x2.dx → ʃ3x2..dx = x3 + c , donde c = a cualquier n° R, el cual se desconoce la constante ( n° real ) .En general: d[ f(x) + c ] = f’(x).dx =f(x) +c
Los resultados de los tres primeros ejemplos estaban incompletos por cuanto les hacía falta un elemento característico de las integrales indefinidas, de acuerdo al razonamiento anterior aplicado llegamos a la conclusión que dicho elemento es la constante ‘’C’’ perteneciente al conjunto de los números reales y que recibe el nombre de ‘’constante de integración’’, la cual debe sumársele al resultado de toda integral indefinida.
Por lo tanto los resultados correctos de los tres primeros ejemplos son:
a) ʃ 5x4.dx = x5 + c
b) ʃ Cos.xdx = Sen.x + c
c) ʃ ex.dx = eX + c
Definición: Si f(x) y g(x) son dos funciones tales que f(x) es una función primitiva de g(x) entonce en la expresión f(x) + c recibe el nombre de integral indefinida de la función g(x) y se escribe: g(x).dx = f(x) + c
USO Y MANEJO DE LA TABLA DE INTEGRALES.
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
1) ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx .Esta integral se utiliza para integrar sumas algebraicas de funciones ,con el objeto de separar la integral original en la suma algebraicas de varias integrales simples
2) La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx .Se utiliza para sacar el signo de integral a todas aquellas constantes que se encuentran multiplicando y dividiendo
